Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai Mutlak  

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam notasi mutlak. Masalah yang muncul dalam materi ini adalah penentuan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Materi ini merupakan lanjutan dari perhitungan nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak sehingga penguasaan materi yang bersangkutan harus dipastikan terlebih dahulu.

Nilai mutlak dari suatu bilangan real x (dilambangkan dengan |x|) adalah nilai tak negatif dari bilangan rea itu. Misalnya, |3| = 3, |−2| = 2, dan |−1/2| = 1/2. Nilai mutlak bilangan nol didefinisikan sebagai bilangan itu sendiri, sehingga | 0 | = 0. Secara umum, nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x, ditulis |x| diartikan

|x|	=	x, untuk x ≥ 0
		−x, untuk x < 0

Misalkan |x| < 0 maka dapat ditentukan suatu bilangan positif p sehingga |x| + p = a, a ≥ 0. Oleh karena itu,

|x| + p = a

⇔ (|x| + p)2 = a2

⇔ x2 + 2p|x| + p2 = a2

Karena p positif dan |x| positif, jika dimisalkan q = 2p|x| + p2 maka q merupakan bilangan positif, sehingga diperoleh bahwa x2 + q = a2. Karena x2 + q (positif) = a2 maka dapat disimpulkan bahwa

|x|

<

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2

Analogi dengan cara di atas maka kita juga akan memperoleh

|x|

>

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2

Cobalah kalian buktikan.

Akibat dari sifat |x| < a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2 adalah sebagai berikut.

x2 < a2

⇔ x2 – a2 < 0

⇔ (x – a)(x + a) < 0

Pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan itu adalah

(x – a)(x + a) < 0

⇔ x – a = 0 atau x + a = 0

⇔ x = a atau x = −a

Gambar garis bilangannya adalah sebagai berikut.

Kemudian kita uji sebuah titik, misalnya 0 (nol).

(x – a)(x + a) = 0

x = 0 → (0 – a)(0 + a)

⇔ (−a)(a)

⇔ −(a)2 < 0

Karena untuk x = 0 bernilai negatif (−a2 < 0) maka pernyataan tersebut benar sehingga tanda dari garis bilangan itu adalah sebagai berikut.

Interval yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah –a < x < a.

Akibat dari sifat |x| > a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2 adalah sebagai berikut.

x2 > a2

⇔ x2 – a2 > 0

⇔ (x – a)(x + a) > 0

Pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu adalah x = a atau x = −a dan garis bilangannya adalah sebagai berikut.

Karena daerah yang diminta positif, maka daerah yang memenuhi adalah x < −a atau x > a seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Analog dengan kedua hal di atas, tentu kalian dapat menunjukkan bahwa |x| ≤ a, a ≥ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a dan untuk |x| ≥ a, a ≥ 0 ⇔ x ≤ −a atau x ≥a. Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk a ≥ 0, berlaku

|x| < a ⇔ −a < x < a

|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

|x| > a ⇔ x < −a atau x > a

|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam tanda mutlak. Misalnya,

|x – 1| < 3, |x2 + 3x| > |5 – 2x|, dan |x + 1|2 – 2 ≤ |x + 1|.

Dari uraian di atas, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan nilai mutlak, dapat kita gunakan sifat-sifat berikut.

Jika a ∈ R dan a ≥ 0 maka
1.	a.	|x| < a ⇔ −a < x < a
	b.	|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
	c.	|x| > a ⇔ x < −a atau x > a
	d.	|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a
2.	|x| = √x2

Untuk Soal dan pembahasanya kalian dapat meng klik pada link berikut : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/01/cara-menentukan-penyelesaian-pertidaksamaan-nilai-mutlak.html