SukaKalkulus 1: Fungsi dan Grafik kalkulus 1

Fungsi Dan Grafik Fungsi

1. Fungsi

Jadi Fungsi adalah Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi: $f:A \rightarrow B$

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$
${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

2. GRAFIK FUNGSI

Grafik fungsi adalah grafik yang menunjukkan hubungan antara setiap nilai x dengan bayangannya (y) pada suatu fungsi f.

A. Grafik Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi dengan pangkat variabel tertinggi 1, dengan bentuk umum

f(x) = ax + b

sehingga grafiknya akan berbentuk garis lurus dengan persamaan

y = ax + b

dengan gradien a dan konstanta b (ordinat ketika garis memotong sumbu y.

Contoh

Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x - 3

Langkah pertama untuk menggambar grafik fungsi pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tabel (x, f(x)) sebagai berikut
f(-1) = 2(-1) - 3 = -5 f(1) = 2(1) - 3 = -1
f(0) = 2(0) - 3 = -3 f(2) = 2(2) - 3 = 1