Teorema Limit Bilangan Euler

LIMIT TRIGONOMETRI

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema.

Kalkulus Satu Variabel, Limit Fungsi Satu Variabel
10 October 2018, 11.03
Oleh: admin
1

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan Euler.

Teorema 1. Apabila $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)=0$ dan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} g(x)=\pm \infty$ maka

$\begin{equation*} \displaystyle \lim_{x\rightarrow c} \left(1+f(x)\right)^{g(x)}=e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c} f(x)g(x)}. \end{equation*}$

Supaya lebih memahami penggunaan teorema di atas, diperhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 2. Tentukan $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.$

Apabila berturut-turut diambil $f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1}$ dan $g(x)=3x-2$ maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}$