Sabtu, 27 Juni 2020

Titik Belok Kalkulus 1

Titik Belok

Pengertian dari titik belok fungsi sendiri adalah titik dimana terjadinya perubahan kecekungan fungsi.

Sedangkan kecekungan fungsi adalah bentuk grafik fungsi tersebut memiliki kecenderungan cekung ke arah mana ( atas atau bawah ).

Perhatikanlah grafik dibawah ini :

Dari grafik fungsi diatas dapat dilihat bahwa :

f cekung ke bawah pada interval x < a atau b < x < c
f cekung ke atas pada interval a < x < b atau x > c.

Titik (a, f(a)), (b, f(b)) dan (c, f(c)) disebut titik belok dimana pada titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya.

Interval kecekungan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan kedua fungsi tersebut.

f(x) cekung ke atas pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) > 0
f(x) cekung ke bawah pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) < 0

Misalkan f(x) diferensiabel dua kali pada x = a dan f ''(a) = 0.
Titik (a, f(a)) disebut titik belok fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis :

Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)
Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)

atau

Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)

Nilai Maksimum Dan Minimum Turunan Fungsi

Yang dimaksud dengan nilai maksimum dan minimum turunan fungsi yaitu,

Nilai suatu fungsi dikatakan maksimum apabila nilai dari fungsi tersebut paling besar dan sebaliknya nilai suatu fungsi dikatakan minimum apabila nilai dari fungsi tersebut paling kecil pada sebuah selang/interval tertutup.

Pengertian nilai maksimum dan minimum secara umum :

Nilai ekstrem dari suatu fungsi y = f(x) dapat diperoleh pada turunan pertama fungsi

sama dengan nol f'(x) = 0. Ketika sebuah fungsi mempunyai nilai x=a yang memenuhi persamaan f'(x) = 0 maka kurva tersebut mempunyai titik ekstremdi (a, f(a)) dan nilai ekstremnya f(a).

penggunaan turunan untuk menentukan nilai maksimum

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = x3 + 3x2 -24x kita kerjakan dengan turunan

Jawab:
y = f(x) = x3 + 3x2 – 24x
f'(x) = 3x2 + 6x -24
3x2 + 6x -24 = 0
(3x+12) (x-2) = 0
x = -4 atau x = 2

kedua nilai x kemudian kita masukkan ke fungsi
f(-4) = (-4)3 + 3(-4)2 -24(-4) = -64 + 48 + 96 = 80 (nilai maksimum)
f(2) = 23 + 3(2)2 – 24(2) = 8 + 12 – 24 = -8 (nilai minimum)

lIMIT TRIGONOMETRI KALKULUS 1

LIMIT TRIGONOMETRI

Penjelasan :

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah dulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus menggunakan identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang menggunakan identitas dan teorema. Jadi apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai :

Rumus kebalikan
Identitas Trigonometri
Rumus Jumlah dan Selisih
Rumus Perkalian
Rumus sudut rangkap
Teorema limit trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu :

Teorema A

lim┬(x→0)⁡〖sin⁡x/x〗=lim┬(x→0)⁡〖x/sin⁡x 〗=1 lim┬(x→0)⁡〖tan⁡x/x〗=lim┬(x→0)⁡〖x/tan⁡x 〗=1 lim┬(x→0)⁡〖(1-cos⁡x)/x〗=0

Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya yaitu berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang memiliki nilai sederhana. Untuk itu kita perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang disajikan table di bawah ini :

ATURAN L' 'Hôpital dan Limit bentuk Tak tentu

LIMIT BENTUK TIDAK TENTU DAN ATURAN L' 'Hôpital

Pengertian
Jadi Limit bentuk tak tentu adalah suatu kondisi dimana hasil dari limit ini adalah 0/0 atau ∞/∞, sehingga harus dicari menggunakan cara lain agar hasilnya tidak seperti itu. Salah satu cara yang bisa digunakan adalah dengan menggunakan Aturan L'Hospital.

Aturan L'Hôpital merupakan derivatif (turunan) untuk membantu dalam menentukan nilai limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Penerapan (atau berulang penerapan) dalil ini akan mengubah bentuk tak tentu menjadi bentuk tertentu, sehingga nilai suatu limit mudah ditentukan. Aturan ini dinamai Guillaume de l'Hospital setelah abad ke-17 yang diterbitkan dalam bukunya Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes (1696), buku teks pertama kalkulus diferensial. Namun, diyakini bahwa dalil itu ditemukan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli.

Dalam bentuk yang paling sederhana, dalil l’Hôpital menyatakan bahwa untuk fungsi ƒ dan g:

Berikut beberapa bentuk tak tentu :

Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Bentuk tak tentu ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Bentuk tak tentu 0.∞ :

Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Turunan fungsi implisit - Kalkulus 1

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Pemahaman

Dalam kalkulus, saat memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x2 -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit!

Definisi Fungsi Implisit

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx). Berikut ini, hal yang harus dipahami dalam menurunkan fungsi implisit khususnya yang memiliki dua variabel (x dan y).

Berikut adalah langkah - langkah untuk melakukan turunan fungsi implisit

Turunkan suku-suku x seperti biasa. Saat mencoba menurunkan persamaan multi variabel seperti x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, mungkin sulit untuk mengetahui dari mana harus memulai. Untungnya, langkah pertama dari turunan fungsi implisit adalah langkah termudahnya. Turunkan saja suku-suku x dan konstanta pada kedua sisi persamaan sesuai aturan turunan biasa (eksplisit) untuk memulainya. Abaikan suku-suku y untuk sementara.
y
Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y. Mengerjakan suku-suku yang memiliki x dan y agak sedikit rumit, tetapi jika mengetahui aturan hasil kali dan hasil bagi untuk turunan, akan mudah mengerjakannya. Jika suku-suku x dan y dikalikan, gunakan aturan hasil kali ((f × g)' = f' × g + g × f'), mensubtitusikan suku x untuk f dan suku y untuk g. Sebaliknya, jika suku-suku x dan y saling membagi satu sama lain, gunakan aturan hasil bagi ((f/g)' = (g × f' - g' × f)/g2), mensubstitusikan suku pembilang untuk f dan suku penyebut untuk g.
Sendirikan (dy/dx). Sekarang, yang harus dilakukan adalah menyelesaikan persamaan (dy/dx). Hal ini tampaknya sulit, tetapi biasanya tidak — ingatlah bahwa dua suku a dan b apa pun yang dikalikan oleh (dy/dx) dapat ditulis sebagai (a + b)(dy/dx) karena sifat distributif perkalian. Taktik ini dapat memudahkan proses menyendirikan (dy/dx) — pindahkan saja semua suku lainnya di sisi lain dari tanda kurung, kemudian bagilah dengan suku-suku dalam tanda kurung di sebelah (dy/dx).
Masukkan nilai (x, y) untuk mencari (dy/dx) untuk titik apa pun. Menggunakan persamaan ini untuk mencari gradien (dy/dx) untuk titik (x, y) apa pun semudah memasukkan nilai-nilai x dan y untuk titik ke sisi kanan persamaan, kemudian mencari (dy/dx).
Gunakan aturan rantai untuk fungsi-dalam-fungsi. Aturan rantai adalah bagian pengetahuan yang penting untuk dimiliki saat mengerjakan soal-soal kalkulus (termasuk soal-soal turunan fungsi implisit). Aturan rantai menyatakan bahwa untuk fungsi F(x) yang dapat ditulis sebagai (f o g)(x), turunan F(x) sama dengan f'(g(x))g'(x). Untuk soal-soal turunan fungsi implisit yang sulit, hal ini berarti bahwa mungkin untuk menurunkan bagian persamaan individu yang berbeda, kemudian menggabungkan hasilnya.
Untuk persamaan dengan variabel-variabel x, y, dan z, carilah (dz/dx) dan (dz/dy). Meskipun tidak biasa dalam kalkulus dasar, beberapa penerapan lanjut mungkin membutuhkan turunan fungsi implisit dari lebih dari dua variabel. Untuk masing-masing variabel tambahan, harus mencari turunan tambahannya terhadap x. Misalnya, jika memiliki x, y, dan z, harus mencari baik (dz/dy) dan (dz/dx). Kita bisa melakukan hal ini dengan menurunkan persamaan terhadap x sebanyak dua kali — pertama, kita akan memasukkan (dz/dx) setiap kali kita menurunkan suku yang mengandung z, dan kedua, kita akan memasukkan (dz/dy) setiap kali kita menurunkan z.

Syarat Fungsi Implisit

TURUNAN FUNGSI

Turunan Fungsi

DEFINISI TURUNAN

Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi menjadi f' yang memiliki nilai tidak beraturan.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{df(x)}{dx}$ atau y' dan didefinisikan sebagai :

$f'(x) =\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

RUMUS - RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Aturan-aturan dalam turunan fungsi :

1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat $f(x) = x^n$

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus

$f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ sebagai :

Maka, rumus turunan fungsi pangkat adalah

$f'(x ) = nx^{n-1}$

2. Rumus Turunan Hasil Kali Fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat

dengan :

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x)=u'v+uv'$

3. Rumus Turunan Fungsi Pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

$f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}$

sehingga :

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

4. Rumus Turunan Pangkat dari Fungsi $f(x)=(u(x))^n$

Jika $f(x) = x^n$ , maka $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1$

Karena $f(x) = (u(x))^n=u^n$ , maka

$f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$ atau $f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'$

Maka, rumus turunan fungsinya adalah

$f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'$

RUMUS - RUMUS TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Berdasarkan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yaitu sebagai berikut : (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

Limit Kontinuitas kalkulus 1

LIMIT KONTINUITAS

PENGERTIAN dari Limit Kontinuitas

Kontinuitas dapat disamakan artinya dengan kesinambungan. Lawan kontinuitas adalah diskontinuitas, yaitu tidak kesinambungan.

Kontinuitas suatu fungsi adalah kesinambungan suatu fungsi. Kontinuitas suatu fungsi berkaitan dengan limit fungsi.

KONTINU KIRI DAN KONTINU KANAN

* Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x = a, jika :

* Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x = a, jika :

Limit Bilangan e Dan Limit Trigonometri - Kalkulus 1

Limit Bilangan e Dan Limit Trigonometri

Definisi

Limit, secara bahasa dapat diartikan sebagai ambang batas. Misalnya, sebuah kartu kredit memiliki limit Rp5.000.000,00. Artinya, kartu kredit tersebut mempunyai ambang batas Rp5.000.000,00. Begitu juga untuk pengertian limit secara matematika, limit dalam matematika juga dapat diartikan sebagai batas yang dapat dicapai di suatu titik. Melalui halaman ini, idschool akan mengulas tentang pengertian limit.

Dalam matematika, limit dapat dikatakan sebagai prediksi nilai ordinat yang didapat pada suatu titik. Nilai limit diperoleh dengan pendekatan dari sisi kanan dan sisi kiri. Jika nilai limit dari kiri sama dengan nilai limit dari kanan maka fungsi f(x) mempunyai nilai limit. Notasi limit dismibolkan pada persamaan di bawah.

Contoh Soal

Pembahasan

Dengan menggunakan teori L’Hospital, kita dapat menentukan persamaan yang melibatkan a dan b pada bentuk limit tersebut, dengan syarat substitusi langsung x = 4 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 ini berarti,

Pembahasan

Limit Fungsi dalam Kalkulus 1

LIMIT FUNGSI

Definisi dari Limit

jadi Limit itu merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Ada beberapa metode atau cara penyelesaian untuk limit aljabar, diantaranya yaitu:

Metode subitusi
Metode pemfaktoran
Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut
Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Sifat-sifat dari Limit Fungsi

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka berlaku teorema-teorema berikut.

Mencari Nilai Limit

Metode Subtitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh :

Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

Maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian bisa disubstitusikan. Contoh :

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan. Contoh :

Jadi semoga bisa paham teman teman hehe..

Fungsi dan Grafik Fungsi Kalkulus 1

Fungsi dan Grafik Fungsi

GRAFIK GARIS LURUS

Bagaimana cara memperoleh titik potong dengan sumbu x dan titik potong dengan sumbu y? Apakah kalian sudah memperoleh jawabannya? Jika belum, coba perhatikan persyaratan serta contoh berikut:
Titik potong dengan sumbu x, diperoleh dengan syarat y = 0
Titik potong dengan sumbu y, diperoleh dengan syarat x = 0
Contoh:
Bentuk persamaan garis lurus: y = 2x – 4
Titik potong dengan sumbu x
Syaratnya : y = 0
Maka :
y = 2x – 4
0 = 2x – 4
2x = 4
x = 2

Jadi titik potong dengan sumbu x (2,0)

Titik potong dengan sumbu y
Syaratnya : x = 0
Maka :

y = 2x – 4
y = 2.0 – 4
y = 0 – 4
y = -4

Jadi titik potong dengan sumbu x (0,-4)
Grafik Persamaan Garis Lurus:

Dari simulasi tersebut dapat kita simpulkan bahwa untuk menggambar grafik persamaan garis lurus dengan cara menggunakan titik potong sumbu ada 5 langkah , yaitu :
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, berarti nilai y = 0
2. Letakkan titik tersebut pada bidang koordinat cartesius
3. Menentukan titik potong dengan sumbu y, berarti nilai x = 0
4. Letakkan titik tersebut pada bidang koordinat cartesius
5. Hubungkan kedua titik tersebut, maka didapat grafik persamaan garis lurus.

Grafik Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola
Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax² + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a (+) maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a ( - ) maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp )
dengan :

Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimumYp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y = ax² + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x₁ dan x₂ . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya....

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya... bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x₁ dan x₂ maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x