SukaKalkulus 1

Rabu, 01 April 2020

Fungsi dan Grafik kalkulus 1

Fungsi Dan Grafik Fungsi

1. Fungsi

Jadi Fungsi adalah Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi: $f:A \rightarrow B$

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$
${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Meupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

2. GRAFIK FUNGSI

Grafik fungsi adalah grafik yang menunjukkan hubungan antara setiap nilai x dengan bayangannya (y) pada suatu fungsi f.

A. Grafik Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi dengan pangkat variabel tertinggi 1, dengan bentuk umum

f(x) = ax + b

sehingga grafiknya akan berbentuk garis lurus dengan persamaan

y = ax + b

dengan gradien a dan konstanta b (ordinat ketika garis memotong sumbu y.

Contoh

Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x - 3

Langkah pertama untuk menggambar grafik fungsi pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tabel (x, f(x)) sebagai berikut
f(-1) = 2(-1) - 3 = -5 f(1) = 2(1) - 3 = -1
f(0) = 2(0) - 3 = -3 f(2) = 2(2) - 3 = 1

Lalu, masukkan titik (-1,-5), (0,-3), (1,-1), dan (2,1) pada koordinat kartesius sebagai berikut

Kemudian, hubungkan titik-titik tersebut dalam satu garis lurus sebagai berikut

Inilah grafik fungsi linear f(x) = 2x - 3.

Ingin lebih ? klik link berikut : https://karyatuliskoalakampus.blogspot.com/2019/03/kalkulus-1_30.html

Selasa, 17 Maret 2020

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam notasi mutlak. Masalah yang muncul dalam materi ini adalah penentuan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Materi ini merupakan lanjutan dari perhitungan nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak sehingga penguasaan materi yang bersangkutan harus dipastikan terlebih dahulu.

Nilai mutlak dari suatu bilangan real x (dilambangkan dengan |x|) adalah nilai tak negatif dari bilangan rea itu. Misalnya, |3| = 3, |−2| = 2, dan |−1/2| = 1/2. Nilai mutlak bilangan nol didefinisikan sebagai bilangan itu sendiri, sehingga | 0 | = 0. Secara umum, nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x, ditulis |x| diartikan

\|x\|	=	x, untuk x ≥ 0
		−x, untuk x < 0

Misalkan |x| < 0 maka dapat ditentukan suatu bilangan positif p sehingga |x| + p = a, a ≥ 0. Oleh karena itu,

|x| + p = a

⇔ (|x| + p)2 = a2

⇔ x2 + 2p|x| + p2 = a2

Karena p positif dan |x| positif, jika dimisalkan q = 2p|x| + p2 maka q merupakan bilangan positif, sehingga diperoleh bahwa x2 + q = a2. Karena x2 + q (positif) = a2 maka dapat disimpulkan bahwa

|x|

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2

Analogi dengan cara di atas maka kita juga akan memperoleh

|x|

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2

Cobalah kalian buktikan.

Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Contoh Soal dan Pembahasan

Akibat dari sifat |x| < a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2 adalah sebagai berikut.

x2 < a2

⇔ x2 – a2 < 0

⇔ (x – a)(x + a) < 0

Pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan itu adalah

(x – a)(x + a) < 0

⇔ x – a = 0 atau x + a = 0

⇔ x = a atau x = −a

Gambar garis bilangannya adalah sebagai berikut.

garis bilangan Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Kemudian kita uji sebuah titik, misalnya 0 (nol).

(x – a)(x + a) = 0

x = 0 → (0 – a)(0 + a)

⇔ (−a)(a)

⇔ −(a)2 < 0

Karena untuk x = 0 bernilai negatif (−a2 < 0) maka pernyataan tersebut benar sehingga tanda dari garis bilangan itu adalah sebagai berikut.

Interval yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah –a < x < a.

Akibat dari sifat |x| > a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2 adalah sebagai berikut.

x2 > a2

⇔ x2 – a2 > 0

⇔ (x – a)(x + a) > 0

Pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu adalah x = a atau x = −a dan garis bilangannya adalah sebagai berikut.

Karena daerah yang diminta positif, maka daerah yang memenuhi adalah x < −a atau x > a seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Analog dengan kedua hal di atas, tentu kalian dapat menunjukkan bahwa |x| ≤ a, a ≥ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a dan untuk |x| ≥ a, a ≥ 0 ⇔ x ≤ −a atau x ≥a. Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk a ≥ 0, berlaku

|x| < a ⇔ −a < x < a

|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

|x| > a ⇔ x < −a atau x > a

|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam tanda mutlak. Misalnya,

|x – 1| < 3, |x2 + 3x| > |5 – 2x|, dan |x + 1|2 – 2 ≤ |x + 1|.

Dari uraian di atas, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan nilai mutlak, dapat kita gunakan sifat-sifat berikut.

Jika a ∈ R dan a ≥ 0 maka
1.	a.	\|x\| < a ⇔ −a < x < a
	b.	\|x\| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
	c.	\|x\| > a ⇔ x < −a atau x > a
	d.	\|x\| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a
2.	\|x\| = √x2

Untuk Soal dan pembahasanya kalian dapat meng klik pada link berikut : https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/01/cara-menentukan-penyelesaian-pertidaksamaan-nilai-mutlak.html